Question

18．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A． y=x³
• B． y=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）
• C． y=lg$\frac{1+x}{1-x}$
• D． y=（$\frac{1}{2}$）^x

Answer 1

分析 根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y=x³，为幂函数，为奇函数，在其定义域上为增函数，不符合题意；
对于B、y=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x），其定义为R，有f（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）=-f（x），
则函数f（x）为奇函数，
其导数y′=$\frac{1}{2}$（-e^-x-e^x）＜0，则其在定义域为减函数，符合题意，
对于C、y=lg$\frac{1+x}{1-x}$，有$\frac{1+x}{1-x}$＞0，解可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1），关于原点对称，
且f（-x）=lg$\frac{1-x}{1+x}$=-lg$\frac{1+x}{1-x}$=-f（x），为奇函数；
令t=$\frac{1+x}{1-x}$，y=lgt，分析可得t=$\frac{1+x}{1-x}$为增函数，为y=lgt为增函数，故y=lg$\frac{1+x}{1-x}$为增函数，不符合题意；
对于D、y=（$\frac{1}{2}$）^x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选：B．

点评 本题考查函数的奇偶性与单调性的判定，关键是掌握函数的奇偶性、单调性的判定方法．