Question

13．已知直线x+y-1=0和直线x-2y-4=0的交点为P．
（1）求过点P且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程；
（2）若点Q在圆（x+1）²+y²=4上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐标，求出直线斜率，从而求出直线方程即可；
（2）设M（x，y），Q（x₀，y₀），表示出Q的坐标，得到${{（x}_{0}+1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4，代入可得（2x-2+1）²+（2y+1）²=4，求出M的轨迹方程即可．

解答 解：（1）联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1=0}\\{x-2y-4=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\end{array}\right.$，故P（2，-1），
又所求直线与直线x-2y+1=0垂直，
故所求直线的斜率是-2，
故所求直线的方程是y+1=-2（x-2），
即2x+y-3=0；
（2）设M（x，y），Q（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}+2}{2}}\\{y=\frac{{y}_{0}-1}{2}}\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2x-2}\\{{y}_{0}=2y+1}\end{array}\right.$，
又∵Q是圆（x+1）²+y²=4上的动点，
∴${{（x}_{0}+1）}^{2}$+${{y}_{0}}^{2}$=4，
代入可得（2x-2+1）²+（2y+1）²=4，
化简得${（x-\frac{1}{2}）}^{2}{+（y+\frac{1}{2}）}^{2}=1$，
故M的轨迹方程是${（x-\frac{1}{2}）}^{2}{+（y+\frac{1}{2}）}^{2}=1$．

点评 本题考查了直线的垂直关系，考查轨迹方程问题，是一道中档题．