Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，4S_n=a_n²+2a_n-3．
（Ⅰ） 若a_n＞0，求数列{a_n}的通项公式； 
（Ⅱ） 若a₁，a₂，a₃，…，a₉成等比数列，当n≥9 时，a_n＞0，求数列{a_n}的前项和为S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知数列递推式求出首项，且得到a_n+1-a_n=2（n≥2），可得数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，则数列{a_n}的通项公式可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，结合已知可得，当n≥9时，a₉，a₁₀，…，a_n成等差数列，首项a₉=3，公差d=2．又a₁，a₂，a₃，…，a₉成等比数列，可得a_n+1+a_n=0（n≤8），q=-1．然后分类数列{a_n}的前项和为S_n．

解答 解：（Ⅰ）由4S_n=a_n²+2a_n-3，①
得4S_n+1=a_n+1²+2a_n+1-3，②
②-①得：$4{a}_{n+1}={{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n+1}-2{a}_{n}$，
整理得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=2（n≥2）．
当n=1时，4S₁=a₁²+2a₁-3，即${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-3=0$，
解得a₁=3（a_n＞0）．
∴数列{a_n}是以3为首项，以2为公差的等差数列，
则a_n=3+2（n-1）=2n+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵当n≥9 时，a_n＞0，
∴当n≥9时，a_n+1-a_n=2，
即当n≥9时，a₉，a₁₀，…，a_n成等差数列，首项a₉=3，公差d=2．
于是S_n=S₈+a₉+a₁₀+…+a_n=${S}_{8}+\frac{（n-8）[3+3+2（n-9）]}{2}={S}_{8}+{n}^{2}-14n+48$．
当n=1时，4S₁=a₁²+2a₁-3，即${{a}_{1}}^{2}-2{a}_{1}-3=0$，
又a₁，a₂，a₃，…，a₉成等比数列，
∴a_n+1+a_n=0（n≤8），q=-1．
而a₉＞0，∴a₁=3．
当1≤n≤8时，${S}_{n}=\frac{3[1-（-1）^{n}]}{1-（-1）}=\frac{3}{2}[1-（-1）^{n}]$．
∴${S}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}[1-（-1）^{n}]，（1≤n≤8）}\\{{n}^{2}-14n+48，（n≥9）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查等差关系与等比关系的确定，训练了数列前n项和的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．