Question

7．已知函数f（x）=|x-2|．
（1）求不等式f（x）≤5-|x-1|的解集；
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{x}$-f（2x）-a的图象在（$\frac{1}{2}$，+∞）上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）由题意可得，函数h（x）=$\frac{1}{x}$-|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-2x+2，x≥1}\\{\frac{1}{x}+2x-2，\frac{1}{2}＜x＜1}\end{array}\right.$的图象和直线y=a 在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有3个交点，数形结合可得a的范围．

解答 解：（1）不等式f（x）≤5-|x-1|，即|x-2|≤5-|x-1|，即|x-2|+|x-1|≤5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{2-x+1-x≤5}\end{array}\right.$①；或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{2-x+（x-1）≤5}\end{array}\right.$②；或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x-2+x-1≤5}\end{array}\right.$．
解①求得-1≤x＜1，解②求得1≤x≤2，解求得 2＜x≤4，
综上可得，原不等式的解集为{x|-1≤x≤4}．
（2）若函数g（x）=$\frac{1}{x}$-f（2x）-a的图象在（$\frac{1}{2}$，+∞）上与x轴有3个不同的交点，
则方程 $\frac{1}{x}$-f（2x）=a在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有3个解，
即函数h（x）=$\frac{1}{x}$-|2x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x}-2x+2，x≥1}\\{\frac{1}{x}+2x-2，\frac{1}{2}＜x＜1}\end{array}\right.$的图象和直线y=a 在（$\frac{1}{2}$，+∞）上有3个交点．
当$\frac{1}{2}$＜x＜1时，f（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2≥2$\sqrt{2}$-2，当且仅当$\frac{1}{x}$=2x，即x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，等号成立．
再根据f（$\frac{1}{2}$）=1=f（1），当x≥1时，f（x）=$\frac{1}{x}$-2x+2单调递减，如图所示：
故a的取值范围为（2$\sqrt{2}$-2，1）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，方程根的存在性以及个数判断，基本不等式的应用，属于中档题．