Question

2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，c=$\sqrt{7}$．
（1）若a+b=5，求△ABC的面积；
（2）求a+b的最大值，并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式化简4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$，通过余弦函数求解C．利用余弦定理求出ab，然后求解三角形的面积．
（2）法一：利用正弦定理表示，a+b=2R（sinA+sinB），通过两角和与差的三角函数化简通过角A的范围求出最值，然后判断三角形的形状．
法二：由余弦定理得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，求出a+b≤2$\sqrt{7}$，然后判断三角形的形状．

解答 解：由4sin²$\frac{A+B}{2}$-cos2C=$\frac{7}{2}$得2（1-cos（A+B））-cos2C=$\frac{7}{2}$
∴2+2cosC-2cos²C+1=$\frac{7}{2}$，
∴（2cosC-1）²=0，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：7=a²+b²-ab，∴7=（a+b）²-3ab，∴ab=6
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
（2）法一：a+b=2R（sinA+sinB）=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$[sin（$\frac{2π}{3}$-A）+sinA]
=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{3}{2}$sinA）=2$\sqrt{7}$sin（A+$\frac{π}{6}$）
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$
∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即A=$\frac{π}{3}$时，a+b最大为2$\sqrt{7}$
此时△ABC为等边三角形．
法二：由余弦定理得：7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
∴7≥（a+b）²-$\frac{3（a+b）^{2}}{4}$=$\frac{（a+b）^{2}}{4}$
∴（a+b）²≤28，a+b≤2$\sqrt{7}$
当且仅当a=b等号成立，∴a+b最大为2$\sqrt{7}$
此时△ABC为等边三角形．

点评 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的形状的判断，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．