Question

12．在极坐标系中，已知点A（1，$\frac{π}{2}$），点P是曲线ρsin²θ=4cosθ上任意一点，设点P到直线ρcosθ+1=0的距离为d，则|PA|+d的最小值为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 点A（1，$\frac{π}{2}$），化为直角坐标：（0，1）．曲线ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=4x．焦点F（1，0）．直线ρcosθ+1=0化为直角坐标方程：x+1=0．由抛物线的定义可得：d=|PF|．|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|，即可得出．

解答 解：点A（1，$\frac{π}{2}$），化为直角坐标：（0，1）．
曲线ρsin²θ=4cosθ，即ρ²sin²θ=4ρcosθ，可得直角坐标方程：y²=4x．焦点F（1，0）．
直线ρcosθ+1=0化为直角坐标方程：x+1=0．
由抛物线的定义可得：d=|PF|．
∴|PA|+d=|PA|+|PF|≥|AF|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
则|PA|+d的最小值为$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标方程、抛物线的定义及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．