Question

17．已知函数f（x）=[cos（$\frac{π}{2}$-x）-$\sqrt{3}$cosx]cosx．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）讨论f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和诱导公式，辅助公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，
（2）将内层函数看作整体，求出范围，根据正弦函数的单调区间，可得函数f（x）的单调区间；

解答 解：（1）函数f（x）=[cos（$\frac{π}{2}$-x）-$\sqrt{3}$cosx]cosx．
化简可得：f（x）=sinxcosx-$\sqrt{3}$cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}cos2x$=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$-\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∵sin（2x-$\frac{π}{3}$）的最大值为1．
∴f（x）的最大值为1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]上，
∴$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$
∴当$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$时，即$\frac{π}{4}≤x≤\frac{5π}{12}$时，f（x）时单调递增．
∴当$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{7π}{6}$时，即$\frac{5π}{12}≤x≤\frac{3π}{4}$时，f（x）时单调递减．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．