Question

2．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3x+4$．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）的极大值与极小值；
（3）写出利用导数方法求函数极值点的步骤．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间．
（2）借助（1）直接求解函数的极值即可．
（3）写出求解函数的极值的步骤即可．

解答 （本小题满分21）
解：（1）f'（x）=x²+2x-3…（4分）    
令f'（x）=0，得x₁=-3，x₂=1…（6分）
当x∈（-∞，-3）时，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-3）上为增函数；
当x∈（-3，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在（-3，1）上为减函数；
当x∈（1，+∞）时f'（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上为增函数．…（10分）
所以单调递增区间是（-∞，-3）、（1，+∞），单调递减区间是（-3，1）．…（13分）
（2）由（1）可知f（x）在x=-3处取得极大值f（-3）=13，
f（x）在x=1处取得极小值f（1）=$\frac{1}{3}+1-3+4$=$\frac{7}{3}$．…（15分）
（3）第一步：求出函数f（x）的定义域；  
 第二步：求出导数f'（x）；
第三步：解方程f'（x）=0；  …（18分）
第四步：对于方程f'（x）=0的每一个解x₀，分析f'（x）在x₀左、右两侧的符号（即f（x）
的单调性），确定极值点：
①若f'（x）在两侧的符号“左正右负”，则x₀为极大值点；
②若f'（x）在两侧的符号“左负右正”，则x₀为极小值点；
③若f'（x）在两侧的符号相同，则x₀不是极值点．…（21分）

点评 本题考查函数的极值以及导函数的应用，考查转化思想以及计算能力．