Question

7．已知函数f（x）=x²-2ax+|x²-1|，a∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，解不等式 f（x）≥$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）当a＜0时，求 f （x）的最小值 g（a）；
（Ⅲ）若函数y=f（x）在[0，+∞）上有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=-1时，写出分段函数解析式，分段求解不等式 f（x）≥$\frac{1}{2}$，取并集得答案；
（Ⅱ）写出分段函数解析式，当a＜0时，对a分类求 f （x）的最小值，可得 g（a）的解析式；
（Ⅲ）同（Ⅱ）写出分段函数的最小值，可得f（x）的最小值，结合题意列关于a的不等式组求解．

解答 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+2x-1，x≤-1或x≥1}\\{1+2x，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{x≥1}\\{2{x}^{2}+2x-1≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得x$≤-\frac{3}{2}$或x≥1；
由$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜1}\\{1+2x≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$-\frac{1}{4}≤x$＜1．
∴不等式 f（x）≥$\frac{1}{2}$的解集为（-∞，$-\frac{3}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-2ax-1，x≤-1或x≥1}\\{1-2ax，-1＜x＜1}\end{array}\right.$．
由a＜0知，当-1＜$\frac{a}{2}$＜0，即-2＜a＜0时，可得g（a）=f（-1）=1+2a；
当$\frac{a}{2}≤-1$，即a≤-2时，得g（a）=f（$\frac{a}{2}$）=$-\frac{{a}^{2}}{2}-1$．
∴g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{1+2a，-2＜a＜0}\\{-\frac{{a}^{2}}{2}-1，a≤-2}\end{array}\right.$；
（Ⅲ）同（Ⅱ）分析可得f（x）的最小值
f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{{a}^{2}}{2}，a≤-2或a≥2}\\{1+2a，-2＜a≤0}\\{1-2a，0＜a＜2}\end{array}\right.$．
由-1≤x≤1时，f（x）=1-2ax为恒过（0，1）的线段，
∴要使函数y=f（x）在[0，+∞）上有两个零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{1-2a＜0}\\{-1-\frac{{a}^{2}}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围是（$\frac{1}{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查根的存在性及根的个数判断，考查分析问题与解决问题的能力，难度较大．