Question

17．数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=$\frac{{2}^{n+1}•{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$（n∈N⁺）．
（1）证明：数列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）设b_n=$\frac{2n-1}{（n+1）{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，对任意的n∈N₊，t∈[1，2]，at²-2t+a²+$\frac{1}{2}$≤T_n恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知条件可得$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$+1，结合等差数列的定义即可得证；
（2）运用等差数列的通项公式求得b_n=$\frac{2n-1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，再由数列的求和方法：错位相减法，可得数列{b_n}的前n项和为T_n，由题意可得at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，设Φ（t）=at²-2t+a²，运用二次函数的图象和性质可得不等式组，即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：由已知可得$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+{2}^{n}}$，
即$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$+1，即$\frac{{2}^{n+1}}{{a}_{n+1}}$-$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=1．
∴数列{$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$}是公差为1的等差数列．
（2）由（1）知$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{1}}$+（n-1）×1=n+1，
∴a_n=$\frac{{2}^{n}}{n+1}$．
所以b_n=$\frac{2n-1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+$\frac{5}{{2}^{4}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
两式相减得
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2（$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{2}^{n}}•\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$．
T_n=1+4（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$
=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$，
由T_n-T_n-1=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$-（3-$\frac{2n+1}{{2}^{n-1}}$）=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
当n≥2时，T_n-T_n-1＞0，所以数列{T_n}单调递增．
∴T_n最小为T₁=$\frac{1}{2}$，
依题意at²-2t+a²≤0在t∈[1，2]上恒成立，
设Φ（t）=at²-2t+a²
则$\left\{\begin{array}{l}{Φ（1）=a-2+{a}^{2}≤0}\\{Φ（2）={a}^{2}+4a-4≤0}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{-2≤a≤1}\\{-2-2\sqrt{2}≤a≤-2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
又a＞0解得  a∈（0，2$\sqrt{2}$-2]．

点评 本题考查等差数列的定义和通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，以及数列不等式恒成立问题的解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．