Question

6．过直线y=x+1上的一点 P 作圆（x-1）²+（y-6）²=2 的两条切线l₁，l₂，切点分别为A，B，当直线l₁，l₂ 关于直线y=x+1对称时，∠APB=60°．

Answer 1

分析 由题意，l₁，l₂交于P，直线l₁，l₂ 关于直线y=x+1对称时，可知圆心C与P的接线垂直y=x+1．求出直线PC，和P 的坐标，求出|PC|，即可得∠APB的大小．

解答 解：由题意，l₁，l₂交于P，直线l₁，l₂ 关于直线y=x+1对称时，
可知圆心C与P的连线即直线PC垂直y=x+1．
圆（x-1）²+（y-6）²=2，其圆心C为（1，6），r=$\sqrt{2}$．
直线PC斜率为：-1，
∴直线PC方程为：x+y-7=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y-7=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=4}\end{array}\right.$，即P（3，4）．
那么|PC|=$2\sqrt{2}$．
△APC是直角三角形，sin∠APC=$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，∠APC＜90°．
∴∠APC=30°
∴∠APB═2∠APC=60°．
故答案为：60°．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的判断，根据直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键．