Question

11．已知函数f（x）=xlnk-klnx的图象不经过第四象限，则实数k=e．

Answer 1

分析 由函数f（x）=xlnk-klnx的图象不经过第四象限，利用导数可求函数的单调性．确定k的范围，

解答 解：∵函数f（x）=xlnk-klnx，k＞0，x＞0
∴f′（x）=lnk-$\frac{k}{x}$=0，可得x=$\frac{k}{lnk}$，∵x＞0，∴k＞1
当x∈（0，$\frac{k}{lnk}$）时，函数是减函数，当x∈（$\frac{k}{lnk}$，+∞）时，函数是增函数，
x=$\frac{k}{lnk}$，函数取得极小值．
∵函数f（x）=xlnk-klnx的图象不经过第四象限，
∴x＞0，f_min（x）≥0，
∴k-kln$\frac{k}{lnk}$≥0，
∴1≥ln$\frac{k}{lnk}$，
∴e≥$\frac{k}{lnk}$（k＞1），可得elnk-k≥0恒成立，
令h（x）=elnx-x，可得h′（x）=$\frac{e}{x}-1$=0解得x=e，
当0＜x＜e时，函数是增函数，当x＞e时，函数是减函数，x=e函数h（x）取得极大值，h（e）=0．
∴k=e，
故答案为：e．

点评 本题考查导数知识的求解函数的极值，函数的单调性的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确转化是关键．