Question

14．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ（0≤θ＜2π），点M（1，$\frac{π}{2}$），以极点O为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）与曲线C交于A，B两点，且|MA|＞|MB|．
（1）若P（ρ，θ）为曲线C上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P的极坐标；
（2）求$\frac{|MA|}{|MB|}$．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$（0≤θ＜2π），当θ=$\frac{π}{4}$时，ρ取得最大值，可得P．
（2）由ρ=2cosθ+2sinθ可得：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．点M（1，$\frac{π}{2}$）化为（0，1），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-1=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．由t的几何意义可得：|MA|，|MB|．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ=2$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$（0≤θ＜2π），
当θ=$\frac{π}{4}$时，ρ取得最大值2$\sqrt{2}$，此时P$（2\sqrt{2}，\frac{π}{4}）$．
（2）由ρ=2cosθ+2sinθ可得：ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x²+y²-2x-2y=0．
配方为：（x-1）²+（y-1）²=2．
点M（1，$\frac{π}{2}$）化为（0，1），
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入圆的方程可得：t²-$\sqrt{2}$t-1=0，解得t=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
∵|MA|＞|MB|．由t的几何意义可得：|MA|=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，|MB|=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
∴$\frac{|MA|}{|MB|}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$=2+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．