Question

9．△ABC中，内角A，B，C所对的变分别是a，b，c．
（Ⅰ）求证：acosB+bcosA=c；
（Ⅱ）已知（2c-b）cosA=acosB，且b=1，c=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先利用正弦定理把a和b的表达式代入acosB+bcosA中，利用了两角和公式化简整理，求得acosB+bcosA=2RsinC，进而把2RsinC转化成边，原式得证．
（Ⅱ）利用正弦定理化简已知等式，利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosA的值，即可确定出A的度数，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，
∴左=acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin（B+A）=2RsinC=c=右，
原式得证．
（Ⅱ）由（2c-b）cosA=acosB及正弦定理得（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A为三角形的内角，
∴A=$\frac{π}{3}$．
∵b=1，c=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．