Question

1．如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，E、F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线EF的平面分别与棱BB′，DD′交于M，N，给出以下四个命题：
①平面MENF一定为矩形；
②平面MENF⊥平面BDD′B′；
③当M为BB₁的中点时，MENF的面积最小；
④四棱锥A-MENF的体积为常数．
以上命题中正确命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 由EF⊥BD，EF⊥BB′，得出EF⊥平面BDD′B′，平面MENF⊥平面BDD′B′，判断②正确；
由EF⊥平面BDD′B′，得出EF⊥MN，再由MF∥EN，ME∥NF，得出MENF为菱形，判断①错误；
由菱形MENF的面积公式，得出M为BB′的中点时，MENF的面积最小，判断③正确；
计算四棱锥A-MENF的体积为V=V_M-AEF+V_N-AEF=DB×S_△AEF为常数，判断④正确．

解答 解：因为EF⊥BD，EF⊥BB′，BD∩BB′=B，所以EF⊥平面BDD′B′，
所以平面MENF⊥平面BDD′B′，②正确；
EF⊥平面BDD′B′，MN?平面BDD′B′，所以EF⊥MN，
因为MF∥EN，ME∥NF，所以四边形MENF为菱形，①错误；
因为菱形MENF的面积为S=$\frac{1}{2}$NM×EF，
所以当M为BB′的中点时，MENF的面积最小，③正确；
因为四棱锥A-MENF的体积为
V=V_M-AEF+V_N-AEF=DB×S_△AEF为常数，所以④正确．
综上，正确的命题是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间几何体体积的计算问题，是综合题．