Question

10．若f（x）=lnx-mx．
（1）讨论方程f（x）=0的解的个数；
（2）若f（x₁）=f（x₂）=0，且x₁≠x₂，求证：ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1．

Answer 1

分析 （1）由题意可得m=$\frac{lnx}{x}$，设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，求出导数和单调区间，可得最值，作出g（x）的图象，通过图象观察即可得到所求解的个数；
（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化证明不等式x₁•x₂＞e²成立，再由基本不等式即可得到ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1．

解答 解：（1）由f（x）=0，可得m=$\frac{lnx}{x}$，
设g（x）=$\frac{lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．
可得g（x）在x=e处取得极大值，且为最大值$\frac{1}{e}$，
且x→+∞时，g（x）→0，
作出g（x）的图象，
可得当m≤0或m=$\frac{1}{e}$时，直线y=m和y=g（x）有一个交点，即方程f（x）=0有一解；
当0＜m＜$\frac{1}{e}$时，直线y=m和y=g（x）有两个交点，即方程f（x）=0有两解；
（2）证明：f（x）有两个不同的零点x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂＞0，
由题意lnx₁=mx₁，lnx₂=mx₂，①
即lnx₁-lnx₂=m（x₁-x₂），∴$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=m②
而x₁x₂＞e²，等价于：lnx₁+lnx₂＞2，即m（x₁+x₂）＞2，③
由①②③得：$\frac{ln{x}_{1}-ln{x}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，则t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
上式转化为：lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
设H（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
也就是要证明H（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$＞0，
则H′（t）=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
故函数H（t）是（1，+∞）上的增函数，
∴H（t）＞H（1）=0，
即不等式lnt＞$\frac{2（t-1）}{t+1}$成立，
不等式x₁•x₂＞e²成立，
即有$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$=e，
则ln$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＞1．

点评 本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合的思想方法，考查导数的运用：求单调性和最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，考查推理和运算能力，属于中档题．