Question

17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，且函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（1）若函数f（x）在x=$\frac{π}{3}$处取到最小值-2，求函数f（x）的解析式；
（2）若将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到的函数图象关于y轴对称，求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由已知利用周期公式可求ω，可求A，$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．结合范围0＜φ＜π，可求φ的值，即可得解函数解析式．
（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性可求φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，结合范围0＜φ＜π，可求φ，从而可求函数解析式，进而根据正弦函数的单调性即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵由函数f（x）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，有ω=$\frac{2π}{T}$=4．…（1分）
又∵函数f（x）在x=$\frac{π}{3}$处取到最小值-2，
∴A=2，f（$\frac{π}{3}$）=-2，…（2分）
即$\frac{4π}{3}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z．
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$…（5分）
∴从而f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）．          …（6分）
（2）∵f（x）=Asin（4x+φ），
∴则将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
再将向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到的偶函数y=Asin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）的图象．…（8分）
由$\frac{π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，有φ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z   …（9分）
又∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{6}$，
∴故f（x）=Asin（4x+$\frac{π}{6}$），…（10分）
∴由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间为：[$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．…（12分）

点评 本题主要考查了周期公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．