Question

12．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F．直线l：2x-y=0交椭圆E于A，B两点．若|AF|+|BF|=6，点F到直线l的距离不小于2，则椭圆E的离心率的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{\sqrt{5}}{3}$]
• B． [$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）
• C． [$\frac{1}{2}$，1）
• D． （0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 由题意结合椭圆定义列式求得a，再由F到直线l的距离不小于2求得c的范围，则椭圆E的离心率的取值范围可求．

解答 解：如图，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′、BF′，则四边形AFBF′为平行四边形，
∴6=|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a，则a=3．
又F（c，0）当直线l：2x-y=0的距离大于等于2，
∴$\frac{|2c|}{\sqrt{5}}≥2$，即c≥$\sqrt{5}$．
∴e=$\frac{c}{a}≥\frac{\sqrt{5}}{3}$．
∴椭圆E的离心率的取值范围是[$\frac{\sqrt{5}}{3}$，1）．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．