Question

7．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}（0≤x≤1）}\\{\sqrt{2x-{x}^{2}}（1＜x≤2）}\end{array}\right.$．
（1）求f（x）的最大值；
（2）求f（x）与x轴围成的面积．

Answer 1

分析 （1）分别求出x∈[0，1]和x∈（1，2]时f（x）的最大值即可得出结论；
（2）根据定积分的定义计算f（x）与x轴围成的面积即可．

解答 解：（1）当x∈[0，1]时，f（x）=$\sqrt{x}$是单调增函数，
此时当x=1时，f（x）取得最大值1；
当x∈（1，2]时，f（x）=$\sqrt{2x{-x}^{2}}$=$\sqrt{1{-（x-1）}^{2}}$＜1；
综上，f（x）的最大值是1；
（2）f（x）与x轴围成的面积为
S=${∫}_{0}^{2}$f（x）dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{x}$dx+${∫}_{1}^{2}$$\sqrt{2x{-x}^{2}}$dx
=$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{1}$+$\frac{1}{4}$π×1²
=$\frac{2}{3}$+$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了分段函数与定积分的计算问题，是中档题．