Question

15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，A=$\frac{π}{3}$．
（1）当$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（B-C）=sin2B时，求△ABC的面积；
（2）求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，利用三角恒等变换化简$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，
从而求出△ABC的面积；
（2）设出△ABC的外接圆半径R，利用正弦定理写出△ABC的周长l，
根据三角恒等变换和角的取值范围求出△ABC周长l的最大值．

解答 解：（1）△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，且$\frac{\sqrt{3}}{2}$-sin（B-C）=sin2B，
∴sinA-sin（B-C）=sin2B，
∴sin（B+C）-sin（B-C）=sin2B，
∴2cosBsinC=2sinBcosB；
①当cosB=0时，B=$\frac{π}{2}$，c=$\frac{a}{tanA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
∴△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$ac=$\frac{1}{2}$•2•$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
②当cosB≠0时，2sinC=2sinB，
∴B=C=A=$\frac{π}{3}$，
∴a=b=c=2，
∴△ABC的面积为
S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$；
综上，△ABC的面积为S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$或$\sqrt{3}$；
（2）设△ABC的外接圆半径为R，
由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{2}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴△ABC的周长为
l=a+b+c=2+2RsinB+2RsinC
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（sinB+sinC）；
∵A=$\frac{π}{3}$，∴B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴C=$\frac{2π}{3}$-B，∴B∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴l=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$[sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）]
=2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB）
=2+4sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），∴B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴△ABC周长l的最大值为
l_max=2+4×1=6．

点评 本题考查了三角恒等变换与正弦定理的应用问题，也考查了三角形面积与周长的计算问题，是中档题．