Question

20．若函数f（x）的导数f′（x）存在导数，记f′（x）的导数为fⁿ（x）．如果f（x）对任意x∈（a，b），都有fⁿ（x）＜0成立，则f（x）有如下性质：
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）≥$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$．其中n∈N^*，x₁，x₂，…，x_n∈（a，b）．若f（x）=sinx，则fⁿ（x）=-sinx；根据上述性质推断：当x₁+x₂+x₃=π且x₁，x₂，x₃∈（0，π）时，根据上述性质推断：sinx₁+sinx₂+sinx₃的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=sinx，x∈（0，π），求导，则f″（x）=-sinx，由正弦函数的图象可知f″（x）＜0成立，根据函数的性质sinx₁+sinx₂+sinx₃≤3sin（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$），即可求得sinx₁+sinx₂+sinx₃的最大值．

解答 解：设f（x）=sinx，x∈（0，π），则f′（x）=cosx，则f″（x）=-sinx，x∈（0，π），
f（x）有如下性质：f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）≥$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$．
则sinx₁+sinx₂+sinx₃≤3sin（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}}{3}$）=3×sin$\frac{π}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinA+sinB+sinC的最大值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：-sinx，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

点评 本题考查函数的性质，考查正弦函数的性质，考查转化思想，属于中档题．