Question

10．设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=2-a_n，数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1+{b}_{n-1}}$（n≥2，n∈N₊）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式
（3）求数列{$\frac{1}{{a}_{n+2}{b}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用数列的递推式：当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，结合等比数列的定义和通项公式即可得到所求通项；
（2）通过取倒数，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（3）求得$\frac{1}{{a}_{n+2}{b}_{n}}$=（2n-1）•2ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．

解答 解：（1）证明：对任意的n∈N₊，都有S_n=2-a_n，①
当n=1时，a₁=S₁=2-a₁，可得a₁=1；
当n≥2时，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②可得a_n=a_n-1-a_n，
即为a_n=$\frac{1}{2}$a_n-1，
数列{a_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，
且a_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1；
（2）数列{b_n}满足b₁=2a₁=2，b_n=$\frac{{b}_{n-1}}{1+{b}_{n-1}}$（n≥2，n∈N₊），
可得$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{n-1}}$+1，
即有$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{{b}_{1}}$+n-1=n-$\frac{1}{2}$，
可得b_n=$\frac{2}{2n-1}$；
（3）$\frac{1}{{a}_{n+2}{b}_{n}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{n+1}•\frac{2}{2n-1}}$=（2n-1）•2ⁿ，
前n项和T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
上面两式相减可得-T_n=2+2（2²+2³+…+2^n-1+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
化简可得T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列递推式的运用，以及数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．