Question

1．已知圆C：x²+（y-2）²=1，D为x轴正半轴上的动点．若圆C与圆D相外切，且它们的内公切线恰好经过坐标原点，则圆D的方程是（x±2$\sqrt{3}$）²+y²=9．

Answer 1

分析 利用两个圆相外切的性质，求得圆D的圆心横坐标及半径，可得圆D的标准方程．

解答 解：圆C：x²+（y-2）²=1得圆心C（ 0，2）、半径等于1，
设两个圆的公共切点为M，则由两圆相外切的性质可得OM=$\sqrt{{OC}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$．
设圆D的半径为r，点D（a，0），在Rt△OMD中，由勾股定理可得OM²+r²=OD²，即3+r²=a²  ①．
再根据圆C与圆D相外切，可得CD=$\sqrt{{a}^{2}{+2}^{2}}$=1+r  ②．
由①②求得r=3，a=±2$\sqrt{3}$，∴圆D的方程是 （x±2$\sqrt{3}$）²+y²=9，
故答案为：（x±2$\sqrt{3}$）²+y²=9．

点评 本题主要考查两个圆相外切的性质，用待定系数法求圆的标准方程，属于中档题．