Question

3．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，PA=PB，E为AC的中点
（1）求证：PE⊥AB
（2）设平面PAB⊥平面ABC，PB=BC=2，AC=4，求二面角B-PA-C的平面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接PD，由等腰三角形三线合一，可得PD⊥AB，由DE∥BC，BC⊥AB可得DE⊥AB，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面PDE，再由线面垂直的性质得到AB⊥PE；
（2）以D为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面PAE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角B-PA-C的平面角的正弦值．

解答 （1）证明：取AB的中点D，连接PD，
∵PA=PB，D为AB中点，
∴PD⊥AB．
∵D、E分别为AB、AC中点，
∴DE∥BC，
∵BC⊥AB，
∴DE⊥AB，
又∵PD∩DE=D，PD，DE?平面PDE
∴AB⊥平面PDE，
∵PE?平面PDE，
∴PE⊥AB；
（2）解：∵平面PAB⊥平面ABC，ED⊥AB，
∴ED⊥平面PAB，则PD⊥DE．
如图，以D为原点建立空间直角坐标系，由PA=PB=BC=2，AC=4，
则A（0，-$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow{AE}$=（1，$\sqrt{3}$，0）．
设平面PAC的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=\sqrt{3}y+z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，-1，$\sqrt{3}$）
∵DE⊥平面PAB，
∴平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}×1}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．
∴二面角B-PA-C的平面角的正弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的判定和性质，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．