Question

3．定义在（0，$\frac{π}{2}$）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f′（x）＜-f（x）tanx成立，则（　　）

• A． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{6}$）
• B． $\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{6}$）
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$f（1）＞cos1f（$\frac{π}{4}$）
• D． $\sqrt{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 由f′（x）＜-f（x）tanx得[sinxf（x）]′＜0，可知函数y=sinxf（x）是减函数，利用单调性即可判断．

解答 解：由f（x）＜-f′（x）tanx，得
cosxf（x）+sinxf′（x）＜0，
即[sinxf（x）]′＜0，
∴y=sinxf（x）是减函数，
则sin$\frac{π}{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜sin$\frac{π}{6}$f（$\frac{π}{6}$），
∴$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$）＜f（$\frac{π}{6}$）．
故选：B．

点评 本题考查了导数的运用，结合单调性判断大小，关键是根据题意构造函数，是中档题．