Question

14．在平面直角坐标系中，已知向量$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），定点A的坐标为（1，2），点M满足$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，曲线C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}，区域U={P|r≤|$\overrightarrow{MP}$|≤R，0＜r＜R}，曲线C与区域U的交集为两段分离的曲线，则（　　）

• A． 3$\sqrt{2}$-1＜r＜R＜3$\sqrt{2}$+1
• B． 2$\sqrt{3}$-1＜r＜2$\sqrt{3}$+1≤R
• C． r≤2$\sqrt{3}$-1＜R＜2$\sqrt{3}$+1
• D． r＜2$\sqrt{3}$-1＜R＜2$\sqrt{3}$+1

Answer 1

分析 根据题意求出N的轨迹为以A（1，2）为圆心，以1为半径的圆，
区域U为圆环，画出图形，利用数形结合即可求得r的取值范围．

解答 解：∵$\overrightarrow{m}$=（1，0），$\overrightarrow{n}$=（0，1），点A的坐标为（1，2），
点M满足$\overrightarrow{OM}$-2$\overrightarrow{OA}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{OM}$=2$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$=（4，5），∴M（4，5）；
∴$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ=（cosθ，0）+（0，sinθ）
=（cosθ，sinθ），
设N（x，y），则$\overrightarrow{AN}$=（x-1，y-2）=（cosθ，sinθ），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=cosθ}\\{y-2=sinθ}\end{array}\right.$，
即（x-1）²+（y-2）²=1．
∴曲线C={N|$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{m}$cosθ+$\overrightarrow{n}$sinθ，0≤θ≤2π}表示以A（1，2）为圆心，以1为半径的圆．
又M（4，5），如图，|MB|=|MA|-1=$\sqrt{{（4-1）}^{2}{+（5-2）}^{2}}$-1=3$\sqrt{2}$-1，
|MC|=|MA|+1=3$\sqrt{2}$+1．
要使区域U={P|r≤|$\overrightarrow{MP}$|≤R，0＜r＜R}，
且曲线C与区域U的交集为两段分离的曲线，
则3$\sqrt{2}$-1＜r＜R＜3$\sqrt{2}$+1．
故选：A．

点评 本题考查了曲线与方程，也考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．