Question

9．如图，在长方形ABCD中，对角线BD与两邻边所成的角分别为α，β则cos²α+cos²β=1．仿此，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，下列结论正确的是（　　）

• A． 若对角线BD′与面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=1
• B． 若对角线BD′与面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=2
• C． 若对角线BD′与三条棱AB，BC，BB′所成的角为α，β，γ，则cos²α+cos²β+cos²γ=2
• D． 以上类比结论均错误．

Answer 1

分析 根据矩形的对角线BD与边BC和AB所成角分别为α，β，则cos²α+cos²β=1，推广到长方体ABCD-A′B′C′D′中，对角线BD′与面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角分别为α、β、γ，得出cos²α+cos²β+cos²γ=2．

解答 解：根据矩形的对角线BD与边AB和BC所成角分别为α，β，
则cos²α+cos²β=cos²α+cos²（$\frac{π}{2}$-α）=cos²α+sin²α=1，
把它推广到长方体ABCD-A′B′C′D′中，
对角线BD′与面ABC，面ABB′，面BCB′所成的角分别为α、β、γ，
则cos²α+cos²β+cos²γ=$\frac{{BD}^{2}}{{BD′}^{2}}$+$\frac{{BA′}^{2}}{{BD′}^{2}}$+$\frac{{BC′}^{2}}{{BD′}^{2}}$=$\frac{2{（AB}^{2}{+BC}^{2}{+BB′}^{2}）}{{BD′}^{2}}$=$\frac{{2BD′}^{2}}{{BD′}^{2}}$=2．

故选：B．

点评 本题考查了类比推理的应用问题，也考查了直线与平面所成的角的应用问题，是基础题．