Question

11．a₁，a₂，…，a_n是两两互不相同正整数．求证：1+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{n}$≤a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$．

Answer 1

分析 根据a₁，a₂，…，a_n是两两互不相同正整数以及根据排序不等式证明即可．

解答 解：a₁，a₂，…，a_n从小到大的排列记为：b₁，b₂，…，b_n，
则b₁≥1，b₂≥2…，b_n≥n，
根据排序不等式：
a₁+$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{n}^{2}}$
≥b₁+$\frac{1}{{2}^{2}}$b₂+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$b_n
≥1+$\frac{1}{{2}^{2}}$•2+$\frac{1}{{3}^{2}}$•3+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$•n
=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查了不等式的性质，不要忽略a₁，a₂，…，a_n是两两互不相同正整数这个条件．