Question

19．在等差数列{a_n}中，a₃+a₄=12，公差d=2，记数列{a_2n-1}的前n项和为S_n．
（1）求S_n；
（2）设数列{$\frac{n}{{a}_{n+1}{S}_{n}}$}的前n项和为T_n，若a₂，a₅，a_m成等比数列，求T_m．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列通项公式列出方程求出首项a₁=1，由此能求出前n项和S_n．
（2）由a₂，a₅，a_m成等比数列，得m=14，再由$\frac{n}{{a}_{n+1}{S}_{n}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），利用裂项求和法能求出T_m．

解答 解：（1）∵在等差数列{a_n}中，a₃+a₄=12，公差d=2，
∴（a₁+2×2）+（a₁+3×2）=12，
解得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
∵数列{a_2n-1}的前n项和为S_n，
a_2n-1=2（2n-1）-1=4n-3，
∴{a_2n-1}是1为首项，4为公差的等差数列，
∴${S}_{n}=\frac{n（1+4n-3）}{2}$=2n²-n．
（2）∵a₂，a₅，a_m成等比数列，∴${a}_{2}{a}_{m}={{a}_{5}}^{2}$，
∴3（2m-1）=9²，
解得m=14．
∵$\frac{n}{{a}_{n+1}{S}_{n}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴T_m=T₁₄=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}+$$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{27}-\frac{1}{29}$）
=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{29}）$=$\frac{14}{29}$．

点评 本题考查等差数列的前n项和的求法，考查数列的前n项和的求法，考查等差数列、等比数列、裂项求和法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．