Question

14．设函数f（x）=3x²-2（a+b）x+ab，函数g（x）=（x-a）（x-b） a，b∈R
（1）当b=1时，解关于x的不等式：f（x）＞（a+3）x²-（3a+4）x+a+2；
（2）若b＞a＞0且a+b＜2$\sqrt{3}$，已知函数f（x）有两个零点s和t，若点A（s，s•g（s）），B（t，t•g（t）），其中O是坐标原点，证明：$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$不可能垂直．

Answer 1

分析 （1）将b=1代入不等式得到（ax-2）（x-1）＜0，通过讨论a的范围求出不等式的解集即可；
（2）分别求出s+t和st，假设$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$垂直，根据向量的运算求出g（s）g（t）=-1，得到ab（a-b）²=9，根据不等式的性质得到矛盾即可．

解答 解：（1）当b=1时，由f（x）＞（a+3）x²-（3a+4）x+a+2
有ax²-（a+2）x+2＜0，即（ax-2）（x-1）＜0…（1分）
当a=0时，有-2x+2＜0，解得：x＞1，
当a＜0时，$\frac{2}{a}$＜0＜1，解得：x＞1或x＜$\frac{2}{a}$，
当a＜0时，$\frac{2}{a}$-1=$\frac{2-a}{a}$，
所以 当a＞2时，$\frac{2}{a}$＜1，解得：$\frac{2}{a}$＜x＜1，
当a=2时，$\frac{2}{a}$=1，此时无解
当0＜a＜2时，$\frac{2}{a}$＞1，解得：1＜x＜$\frac{2}{a}$
综上：当a＞2时，原不等式的解集为：（$\frac{2}{a}$，1）…（2分）
当a=2时，原不等式的解集为：F…（3分）
当0＜a＜2时，原不等式的解集为：（1，$\frac{2}{a}$）…（4分）
当a=0时，原不等式的解集为：（1，+∞）…（5分）
当a＜0时，原不等式的解集为：（-∞，$\frac{2}{a}$）∪（1，+∞）…（6分）
（2）证明：b＞a＞0时，由s，t为f（x）=0的两根可得，
s+t=$\frac{2}{3}$（a+b），st=$\frac{ab}{3}$＞0…（7分）
假设$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，即$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（s，s•g（s））（t，t•g（t））=st+st•g（s）•g（t）=0，
故g（s）•g（t）=-1，即（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1．…（8分）
所以[st-（s+t）a+a²]•[st-（s+t）b+b²]=-1
从而有ab（a-b）²=9，即 （a-b）²=$\frac{9}{ab}$     …（10分）
故（a+b）²=（a-b）²+4ab=$\frac{9}{ab}$+4ab≥2$\sqrt{36}$=12，
即a+b≥2$\sqrt{3}$，这与a+b＜2$\sqrt{3}$矛盾．
故$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$不可能垂直．…（12分）

点评 本题考查了二次函数的性质以及向量的运算，考查不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．