Question

（2012•台州一模）已知函数f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在面积为

3

的△ABC中，若角A为锐角，f（A）=0，求A所对的边的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换化简求f（x）的解析式为2sin（2x+

π

3

），从而求得它的最小正周期．
（Ⅱ）在面积为

3

的△ABC中，由角A为锐角，f（A）=0，求得A和bc的值，再由余弦定理可得 a²=b²+c²-bc≥bc=4，从而得到a的范围．

解答：解：（Ⅰ）因为f(x)=2cosx(

1

2

sinx+

3

2

cosx)-

3

sin2x+sinxcosx…（1分）
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)，…（5分）
所以周期T=π．…（7分）
（Ⅱ）因为0＜A＜

π

2

，所以

π

3

＜2A+

π

3

＜

4π

3

．…（8分）
由f(A)=0?sin(2A+

π

3

)=0，…（9分）
所以2A+

π

3

=π，即A=

π

3

．…（10分）
因为S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，…（11分）
所以bc=4…（12分）
又因为由余弦定理可得 a²=b²+c²-bc≥bc=4，…（13分）
所以a≥2．…（14分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，基本不等式的应用，属于中档题．