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已知AB是抛物线x2=2py(p>0)的任一弦,F为抛物线的焦点,l为准线.m为过A点且以为方向向量的直线.

(1)若过点的抛物线的切线与y轴相交于C点,求证:|AF|=|CF|;

(2)若(AB异于原点),直线OBm相交于点M,试求点M的轨迹方程;

(3)若AB为焦点弦,分别过AB点的抛物线的两条切线相交于点T,求证:ATBT,且T点在l上.

答案:
解析:

  (1)如图所示,设,易知点即为切点.

  ∵,∴,于是的方程为:,即:,令,得由抛物线的定义可知,

  又.  4分;

  (2)设·,∴,∴.直线的方程:  ①  6分

  直线m的方程:      ②,①×②,得,∴

  ∵,∴,∴点的轨迹方程为.  8分;

  (3)设,易知为切点,则

  由于是焦点弦,可设的方程为:,代入,得:

  ∴,∴,∴.  10分

  由(1)知,的方程:

  ∴,即:.又∵过焦点,∴,∴,∴点在准线l上.  12分


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已知AB是抛物线y2=ax(a>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,则有x1x2=
a2
16
a2
16
,y1y2=
-
a2
4
-
a2
4

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已知AB是抛物线y2=ax(a>0)的焦点弦,且A(x1,y1),B(x2,y2),点F是抛物线的焦点,则|AB|=
a
sin2θ
a
sin2θ
(θ为直线AB的倾斜角).

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a2
8sinθ
a2
8sinθ
(θ为直线AB的倾斜角).

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已知AB是抛物线x2=2py(p>0)的任一弦,F为抛物线的焦点,l为准线,m为过A点且以v=(0,-1)为方向向量的直线.

(1)若过A点的抛物线的切线与y轴相交于C点,求证:|AF|=|CF|;

(2)若·+p2=0(A、B异于原点),直线OB与m相交于点P,试求P点的轨迹方程;

(3)若AB为焦点弦,分别过A、B点的抛物线的两条切线相交于点T,求证:AT⊥BT,且T点在l上.

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