Question

已知二次函数y=-x²+mx-1和点A（3，0），B（0，3），求二次函数的图象与线段AB有两个不同交点的充要条件．

Answer 1

分析：首先求出线段AB所在的方程，分两个方面，必要性和充分性，必要性：联立方程，根据二次函数的图象与线段AB有两个不同交点求出m的范围；充分性，根据m的取值范围，倒推二次函数的图象与线段AB有两个不同交点，可以根据求根公式求出x₁，x₂，然后再判断；

解答：解：①必要性：由已知得，线段AB的方程为y=-x+3（0≤x≤3）…（1分）
由于二次函数图象和线段AB有两个不同的交点，
所以方程组

y=-x2+mx-1 y=-x+3(0≤x≤3)

^*（1）有两个不同的实数解．…（2分）
消元得：x²-（m+1）x+4=0（0≤x≤3），设f（x）=x²-（m+1）x+4，
则有

△=(m+1)2-4×4＞0 f(0)=4≥0 f(3)=9-3(m+1)+4≥0⇒3＜m≤ 10 3 0＜ m+1 2 ＜3

…（8分）
②充分性：∵当3＜m≤

10

3

时，由①知，x²-（m+1）x+4=0
∴x₁=

m+1- (m+1)2-16

2

＞

m+1- (m+1)2

2

＞0 …（10分）x2=

m+1- (m+1)2-16

2

≤

10 3 +1+ ( 10 3 +1)2-16

2

=3…（12分）
∴方程x²-（m+1）x+4=0有两个不等的实根x₁，x₂，且0＜x₁＜x₂≤3，方程组（1）有两组不同的实数解．…（13分）
因此，抛物线y=-x²+mx-1和线段AB有两个不同交点的充要条件3＜m≤

10

3

．…（14分）．

点评：此题主要考查二次函数的性质和充要条件的定义，做题时要考虑全面，解此题的关键是联立方程要化简正确，计算量比较大，计算要仔细．