Question

6．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且S_n=2a_n-n-2．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求证：{a_n+1}是等比数列，并求a_n的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据s_n=2a_n-n-2，令n=1，2，3，4代入式子分别求值即可；
（2）利用“当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1”化简，再由等比数列的定义证明，利用等比数列的通项公式求出a_n的表达式．

解答 解：（1）由题意得，S_n=2a_n-n-2，
令n=1可得a₁=2a₁-1-2，解得a₁=3，
令n=2可得a₁+a₂=2a₂-2-2，解得a₂=7，
令n=3可得a₁+a₂+a₃=2a₃-3-2，解得a₃=15，
令n=3可得a₁+a₂+a₃+a₄=2a₄-4-2，解得a₄=31；
证明：（2）由题意得，S_n=2a_n-n-2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-n-2-[2a_n-1-（n-1）-2]=2a_n-2a_n-1-1，
则a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
所以$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=2，且a₁+1=4，
所以数列{a_n+1}是以4为首项，2为公比的等比数列，
则a_n+1=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，即a_n=2ⁿ⁺¹-1．

点评 本题考查等比数列的定义、通项公式，以及“当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”的应用，属于中档题．