Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。（1）求证AM//平面BDE；　

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°。

Answer 1

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为N,连接NE,

 ∵N、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形ANEM是平行四边形，

∴AM∥NE。

∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDE。---------------------3分

（Ⅱ） 建立如图所示的空间直角坐标系。

   则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴=(,

    又点A、M的坐标分别是（）、（

  ∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF。

∴为平面DAF的法向量。

又∵=（·=0，

∴ =（·=0 得

∴为平面BDF的法向量。

∴cos<>=

∴与的夹角是60º。

即所求二面角A—DF—B的大小是60º。-------------------------8分

（Ⅲ）设P(t,t,0)  (0≤t≤)得  

=（，0，0）

又∵PF和CD所成的角是60º

∴

解得或（舍去），

即点P是AC的中点。-----------------------------------------------------12分