Question

2．武汉市某足球俱乐部2014年1月份安排4次体能测试，规定：按顺序测试，一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加．若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为$\frac{1}{8}$的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过$\frac{1}{2}$，且他直到第二次测试才合格的概率为$\frac{9}{32}$．
（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P；
（Ⅱ）求小李1月份参加测试的次数ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为$\frac{1}{8}$的等差数列，他直到第二次考核才合格表示他第一次不合格第二次才合格，这两个事件是相互独立的，写出概率的关系式，列出方程，得到结果；
（2）小李参加考核的次数ξ，ξ的可能取值是1，2，3，4，小李四次考核每次合格的概率依次为$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$，根据相互独立事件同时发生的概率，得到分布列和期望．

解答 解：（1）设小李四次测试合格的概率依次为：a，a+$\frac{1}{8}$，a+$\frac{1}{4}$，a+$\frac{3}{8}$（a≤$\frac{1}{2}$），…（2分）
则（1-a）（a+$\frac{1}{8}$）=$\frac{9}{32}$，即a2-$\frac{7}{8}$a+$\frac{5}{32}$=0，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=$\frac{5}{8}$＞$\frac{1}{2}$（舍），…（5分）
所以小李第一次参加测试就合格的概率为$\frac{1}{4}$；              …（6分）
（2）因为P（ξ=1）=$\frac{1}{4}$，P（ξ=2）=$\frac{3}{4}$×$\frac{3}{8}$=$\frac{9}{32}$，P（ξ=3）=$\frac{3}{4}$×$\frac{5}{8}$×$\frac{4}{8}$=$\frac{15}{64}$，
P（ξ=4）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）-P（ξ=3）=$\frac{15}{64}$，…（8分）
则ξ的分布列为

ξ	1	2	3	4
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{15}{64}$	$\frac{15}{64}$

…（10分）
所以Eξ=1×$\frac{1}{4}$+2×$\frac{9}{32}$+3×$\frac{15}{64}$+4×$\frac{15}{64}$=$\frac{157}{64}$，
即小李1月份参加测试的次数ξ的数学期望为$\frac{157}{64}$．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用概率知识解决实际问题的能力，属于中档题．