Question

1．设P：“关于x的不等式${x^2}-ax+a+\frac{5}{4}＞0$的解集为R”，q：“方程$\frac{x^2}{4a+7}+\frac{y^2}{a-3}=1$表示双曲线”．
（1）若q为真，求实数a的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若q为真，则（4a+7）（a-3）＜0，解得实数a的取值范围；
（2）若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假，进而可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵方程$\frac{x^2}{4a+7}+\frac{y^2}{a-3}=1$表示双曲线，…（1分）
∴若q为真，则（4a+7）（a-3）＜0，…（3分）
解得$-\frac{7}{4}＜a＜3$…（4分）
（2）若p为真，则${a^2}-4（{a+\frac{5}{4}}）＜0$，…（5分）
即a²-4a-5＜0，解得-1＜a＜5…（6分）
∵p∧q为假，p∨q为真，
∴p，q一真一假，…（7分）
若p真q假，则3≤a＜5；…（8分）
若p假q真，则$-\frac{7}{4}＜a≤-1$；…（10分）
综上，a的取值范围是$（{-\frac{7}{4}，-1}]∪[{3，5}）$…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，双曲线的性质，不等式恒成立，难度中档．