Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx(a，b∈R)在x=-1时取得极值．
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x）=x²+2ax+b，因为函数在x=-1时取得极值，所以f′（-1）=0，即可得到a与b的关系式，表示出b即可；
（2）为函数f（x）存在极值点，所以方程f′（x）=0有两不相等的两实根，把b代入求出两根，根据两根的大小得到a的取值范围，①当x₁＞x₂，即a＞1时和②当x₁＜x₂，即a＜1时，来讨论导函数的正负得到函数的单调区间．

解答：解：（1）依题意，得f′（x）=x²+2ax+b，由于x=-1为函数的一个极值点，
则f′（-1）=1-2a+b=0，得b=2a-1；
（2）因为函数f（x）存在极值点，所以方程f′（x）=0有两不相等的两实根，
由（1）得f′（x）=x²+2ax+b=x²+2ax+2a-1=（x+1）（x+2a-1），
令f′（x）=0，解得x₁=-1或x₂=1-2a，
①当x₁＞x₂，即a＞1时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

故函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调递减区间为（1-2a，-1）；
②当x₁＜x₂，即a＜1时，
同理可得函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调递减区间为（-1，1-2a）．
综上所述，当a＞1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，1-2a）和（-1，+∞），单调减区间为（1-2a，-1）；
当a＜1时，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1）和（1-2a，+∞），单调减区间为（-1，1-2a）

点评：考查学生理解函数取极值的条件，会利用导数研究函数的增减性．