Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）当x＞4时，求证：f(x)＜

x

＜

1

f(x+1)

；
（2）若不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a对x＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先证明：当x＞4时，有f(x)＜

x

，即lnx＜

x

．再证明：当x＞0时，有x＞ln（1+x）．由此能够证明：当x＞4时，f(x)＜

x

＜

1

f(x+1)

．
（2）先证明：不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0对x＞0恒成立，再证明，当a＞0时，不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a对x＞0不恒成立．由此能够求出不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a对x＞0恒成立时，实数a的取值范围．

解答：解：（1）先证明：当x＞4时，有f(x)＜

x

，即lnx＜

x

，
令g（x）=

x

-lnx，则当x＞4时，有g′(x)=

1

2 x

-

1

x

=

x -2

2x

＞0，
∴g（x）在（4，+∞）上是增函数，
∵g（4）=2-ln4=2（1-ln2）＞0，
∴当x＞4时，g(x)=

x

-lnx＞g(4)＞0，
即lnx＜

x

，∴f(x)＜

x

．
再证明：当x＞0时，有x＞ln（1+x），
令h（x）=x-ln（1+x），则当x＞0时，有h′(x)=1-

1

1+x

=

x

1+x

＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∵h（0）=0，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，
即ln（1+x）＜x，∴当x＞4时，有ln（1+

4

x

）＜

1

x

＜

1

x

，
∴

x

＜

1

ln(1+ 1 x )

，即

x

＜ 

1

f(1+ 1 x )

，
综上所述，当x＞4时，f(x)＜

x

＜

1

f(x+1)

．
（2）先证明：不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0对x＞0恒成立，
因为

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)-lnx=

-xlnx

1+x

+ln(1+x)，
所以0＜x＜1，

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0，
当x＞1时，

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)=

lnx

1+x

+ln(1+

1

x

)＞0，
综上所述，当x＞0时，恒有

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＞0，
故当a＜0时，不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a对x＞0恒成立，
下面证明，当a＞0时，不等式

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)≥a对x＞0不恒成立．
令a＞0，当x＞4时，由（1）知

f(x)

1+x

＜

x

1+x

＜

x

x

=

1

x

，
∴

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＜

2

x

，
∴

2

x

＜a，即x＞

4

a2

．
取x＞max{4，

4

a2

}，
则总有

f(x)

1+x

+f(1+

1

x

)＜a，与已知矛盾．
故实数a的取值范围是（-∞，0）．

点评：本题考查函数恒成立问题的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．