Question

已知椭圆方程为C：

x2

2

+y2=1，它的左、右焦点分别为F₁、F₂．点P（x₀，y₀）为第一象限内的点．直线PF₁和PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点．
（1）求椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁、k₂．试找出使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k_OA、k_OB、k_OC、k_OD满足k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0成立的条件（用k₁、k₂表示）．
（3）又已知点E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，直线F₂E与椭圆C的交点G在y轴的左侧，且满足

EG

=2

F2E

，求p的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的定义，结合余弦定理、基本不等式，即可求得椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角；
（2）设出A，B，C，D的坐标，联立直线PF₁和椭圆的方程根据韦达定理表示出x_A+x_B和x_Ax_B，进而可求得直线OA，OB斜率的和与CO，OD斜率的和，由k_OA+k_）B+k_OC+k_OD=0推断出k₁+k₂=0或k₁k₂=1；
（3）设出G的坐标，可得E的坐标，利用E在抛物线上，可得p的函数，换元，利用基本不等，即可得到结论．

解答：解：（1）由题意，设椭圆上的点与两焦点连线的距离为m，n，夹角为α，则m+n=2

2

∴cosα=

m2+n2-4

2mn

=

2

mn

-1
∵m+n=2

2

≥2

mn

∴0＜mn≤2
∴

2

mn

-1≥0
∴cosα≥0
∴当m=n时，椭圆上的点与两焦点连线的最大夹角为90°；
（2）设直线PF₁、PF₂的方程分别为y=k₁（x+1），y=k₂（x-1），A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），C（x_C，y_C），D（x_D，y_D），
联立直线PF₁和椭圆的方程化简得（2k₁²+1）x²+4k₁²x+2k₁²-2=0，
因此x_A+x_B=-

4k12

2k12+1

，x_Ax_B=

2k12-2

2k12+1

，所以k_OA+k_OB=

yA

xA

+

yB

xB

=-

2k1

k12-1

同理可得：k_OC+k_OD=-

2k2

k22-1

，
故由k_OA+k_OB+k_OC+k_OD=0得k₁+k₂=0或k₁k₂=1；
（3）F₂（1，0），设G（x₀，y₀），（-

2

≤x0≤0），则
∵

EG

=2

F2E

，∴x_E=

x0+2

3

，y_E=

y0

3

，
∵E为抛物线y²=2px（p＞0）上一点，
∴(

y0

3

)2=2p•

x0+2

3

∵

x02

2

+y02=1
∴12p=

2-x02

x0+2

令t=x₀+2，则2-

2

≤t＜2
∴12p=-（t+

2

t

-4）≤-（2

2

-4），∴p≤

1

3

-

2

6

，当且仅当t=

2

时，取等号
∴x0=

2

-2时，p的最大值为

1

3

-

2

6

．

点评：本题考查椭圆的定义，考查余弦定理、考查基本不等式的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．