Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆：过点，椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，设直线与圆相切与点，与椭圆相切于点，当为何值时，线段长度最大？并求出最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）时，最大值为1.

【解析】

(1)利用基本量的关系列式求解即可.

(2) 设直线的方程为,根据直线与圆相切可得,再联立直线与椭圆的方程,利用相切则所得的二次方程判别式为0可得,再联立可得.再根据点的坐标结合距离公式以及,在根据基本不等式求解最大值即可.

解：（1）由题,,

故,解得.

故椭圆方程为.

（2）连接OA,OB，如图所示：

设直线的方程为,

因为直线与圆：相切于,

所以,即①,

因为与椭圆：相切于点,

由得,

即有两个相等的实数解,

则,

即,②

由①、②可得,

设,由求根公式得,

∴,

∴,

∴在直角三角形中,

,

因为,当且仅当时取等号,

所以,

即当时,取得最大值,最大值为1.