【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)根据题意,设,根据
,求得
,即可得到函数的解析式;
(2)由函数在区间
上不单调,利用二次函数的性质,得到
,即可求解;
(3)把区间上,
的图象恒在
的图象上方,转化为不等式
在区间
上恒成立,令
,结合二次函数的性质,即可求解.
(1)由题意,函数是二次函数,且
,可得函数
对称轴为
,
又由最小值为1,可设,
又,即
,解得
,
所以函数的解析式为.
(2)由(1)函数的对称轴为
,
要使在区间
上不单调,则满足
,解得
,
即实数的取值范围是
.
(3)由在区间上,
的图象恒在
的图象上方,
可得在区间
上恒成立,
化简得在区间
上恒成立,
设函数,
则在区间
上单调递减
∴在区间
上的最小值为
,
∴.
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【题目】已知函数f(x)= (a,b∈R,且a≠0,e为自然对数的底数).
(1)若曲线f(x)在点(e,f(e))处的切线斜率为0,且f(x)有极小值,求实数a的取值范围.
(2)①当 a=b=l 时,证明:xf(x)+2<0; ②当 a=1,b=﹣1 时,若不等式:xf(x)>e+m(x﹣1)在区间(1,+∞)内恒成立,求实数m的最大值.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
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【题目】已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn.数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求.
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【题目】f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)≤2时,x的取值范围是( )
A. (8,+∞) B. (8,9] C. [8,9] D. (0,8)
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【题目】在平面直角坐标系中,已知点
,
,
坐标分别为
,
,
,
为线段
上一点,直线
与
轴负半轴交于点
,直线
与
交于点
。
(1)当点坐标为
时,求直线
的方程;
(2)求与
面积之和
的最小值.
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