Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得e= = ，

又圆O的方程为x2+y2=b2，

因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切，

b= ，由a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3．

所以椭圆C的方程为

（2）

解：由（1）得知圆的方程为x2+y2=2．A（﹣ ，0），直线m 的方程为：y=k（x+ ）．

设R（x1，y1），S（x2，y2），由

得

，

由△=12k4﹣4（1+k2）（3k2﹣2）＞0的﹣ ＜k＜ …①

因为△ORS是钝角三角形，∴ = = ．

…②

由A、R、S三点不共线，知k≠0． ③

由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（﹣ ，0）∪（0， ）

【解析】（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）先设出点R，S的坐标，利用△ORS是钝角三角形，求得 =x1x2+y1y2＜0，从而求出斜率k的取值范围