【题目】(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是菱形,
.
(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)若求
与
所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面与平面
垂直时,求
的长.
【答案】:证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,所以又因为
平面
。所以
,
所以平面
。
(Ⅱ)设,因为
所以,如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系
,则
所
设
与
所成角为
,则
(Ⅲ)由(Ⅱ)知设
。则
设平面
的法
向量则
,所以
令
则
,
所以同理,平面
的法向量
,因为平面
,所以
,即
解得
,所以
【解析】试题分析:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,可得AC⊥BD,又因为PA⊥平面ABCD,可得PA⊥BD. 根据线面垂直的判定定理即可得到结果;(Ⅱ)设AC∩BD=O,因为∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1,AO=CO=,故以O为坐标原点,OB为X轴,OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz,可得
设PB与AC所成角为
,利用夹角公式即可求出结果.(Ⅲ)由(Ⅱ)知
,设P(0,-
,t)(t>0),则
,求出平面PBC的法向量为
,平面PDC的法向量
,因为平面PCB⊥平面PDC,所以
=0,建立方程,即可求出PA的值.
试题解析:证明:(Ⅰ)因为四边形ABCD是菱形,
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD. 又因为
所以BD⊥平面PAC.
解:(Ⅱ)设AC∩BD=O.
因为∠BAD=60°,PA="AB=2,"
所以BO=1,AO=CO=.
以O为坐标原点,OB为X轴,OC为Y轴建立空间直角坐标系O—xyz,则P(0, ,2),A(0,
,0),B(1,0,0),C(0,
,0).
所以
设PB与AC所成角为,则
.
解:(Ⅲ)由(Ⅱ)知
设P(0,-,t)(t>0),则
设平面PBC的法向量,
则
所以取
则
所以
同理,平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,所以=0,即
解得,所以PA=
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【题目】已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an , an+1是函数f(x)=x2﹣bnx+2n的两个零点,则b10等于( )
A.24
B.32
C.48
D.64
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为
,以极点为原点,极轴为
轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线
的参数方程为
(
为参数).
(1)判断直线与曲线
的位置关系,并说明理由;
(2)若直线和曲线
相交于
两点,且
,求直线
的斜率.
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【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为圆
,
是
上一点,
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当过点的动直线
与椭圆
相交于不同两点
时,线段
上取点
,且
满足
,证明点
总在某定直线上,并求出该定直线.
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【题目】函数f(x)=3sin(2x﹣ )的图象为C,下列结论中正确的是( )
A.图象C关于直线x= 对称
B.图象C关于点(﹣ ,0)对称
C.函数f(x)在区间(﹣ ,
)内是增函数
D.由y=3sin2x的图象向右平移 个单位长度可以得到图象C
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【题目】如图,在多面体中,底面
是边长为
的正方形,四边形
是矩形,平面
平面
,
,
和
分别是
和
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求证:平面平面
.
(Ⅲ)求多面体的体积.
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