【题目】设a为实数,函数f(x)=x3﹣x2﹣x+a,若函数f(x)过点A(1,0),求函数在区间[﹣1,3]上的最值.
【答案】解:∵函数f(x)过点A(1,0),
∴f(1)=1﹣1﹣1+a=0,
∴a=1,
∴f(x)=x3﹣x2﹣x+1,f′(x)=3x2﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1),
∴f(x)在[﹣1,﹣ ]上是增函数,在[﹣
,1]上是减函数,
在[1,3]上是增函数;
而f(﹣1)=﹣1﹣1+1+1=0,
f(﹣ )=﹣
﹣
+
+1=1+
=
,
f(1)=0,
f(3)=27﹣9﹣3+1=16,
故函数f(x)的最大值为16,最小值为0.
【解析】由题意可得f(1)=1﹣1﹣1+a=0,从而化简f(x)=x3﹣x2﹣x+1,f′(x)=3x2﹣2x﹣1=(3x+1)(x﹣1),从而判断函数的单调性再求最值即可.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.
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【题目】如图:已知四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,ABCD是正方形,E是PA的中点,求证:
(1)PC∥平面EBD.
(2)平面PBC⊥平面PCD.
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【题目】函数f(x)=x3+2x2﹣4x+5在[﹣4,1]上的最大值和最小值分别是( )
A.13,
B.4,﹣11
C.13,﹣11
D.13,最小值不确定
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【题目】已知圆和直线
,直线
,
都经过圆
外定点
.
(1)若直线与圆
相切,求直线
的方程;
(2)若直线与圆
相交于
两点,与
交于
点,且线段
的中点为
,
求证: 为定值.
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【题目】在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南方向
的海面P处,且
,并以
的速度向西偏北
方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为
,并以
的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
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【题目】(本小题共14分)
如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是菱形,
.
(Ⅰ)求证: 平面
(Ⅱ)若求
与
所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面与平面
垂直时,求
的长.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为
,其中
为参数,
,再以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,其中
,
,直线
与曲线
交于
两点.
(1)求的值;
(2)已知点,且
,求直线
的普通方程.
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