【题目】已知函数.
(I)求,
的值;
(II)求;
(III)若,求
.
【答案】(I),-11 ; (II)f(8x﹣1)=
;(III)
或
【解析】
(I)根据函数的解析式依次求值即可;(II)根据解析式对8x﹣1分三种情况依次求出,最后再用分段函数的形式表示出f(8x﹣1);(III)根据解析式对4a分三种情况,分别由条件列出方程求出a的值.
(I)由题意得,f(1+
)=f(2+
)=1+
=1+ ,
又f(﹣4)=﹣8+3=-5,则f(-5)=-10+3=-7,f(-7)=-14+3=-11,
所以;
(II)当8x﹣1>1即x>时,f(8x﹣1)=1+
,
当﹣1≤8x﹣1≤1即0≤x≤时,f(8x﹣1)=(8x﹣1)2+1=64x2﹣16x+2,
当8x﹣1<﹣1即x<0时,f(8x﹣1)=2(8x﹣1)+3=16x+1,
综上可得,f(8x﹣1)= ;
(III)因为,所以分以下三种情况:
当4a>1时,即a>时,f(4a)=
=
,解得a=
,成立,
当﹣1≤4a≤1时,即-≤a≤
时,f(4a)=16a2+1=
,解得a=
,成立
当4a<﹣1时,即a<-时,f(4a)=8a+3=
,解得a=-
,不成立,
综上可得,a的值是或
.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的短轴长为2,过上顶点E和右焦点F的直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线l过点(1,0),且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T(t,0)(t≠0),使得不论直线l的斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB (其中O为坐标原点),若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】若偶函数f(x)在(﹣∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(2 ),则a,b,c满足( )
A.a<b<c
B.b<a<c
C.c<a<b
D.c<b<a
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【题目】已知平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为(3, ).曲线C的参数方程为ρ=2cos(θ﹣
)(θ为参数).
(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)若Q为曲线C上的动点,求PQ的中点M到直线l:2ρcosθ+4ρsinθ= 的距离的最小值.
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【题目】已知数列{an}中,a1=1,an+1= (n∈N*).
(1)求证:{ +
}为等比数列,并求{an}的通项公式an;
(2)数列{bn}满足bn=(3n﹣1) an , 求数列{bn}的前n项和Tn .
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,直线l:y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过椭圆C的左顶点A作直线m,与圆O相交于两点R,S,若△ORS是钝角三角形,求直线m的斜率k的取值范围.
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【题目】随着人们生活水平的不断提高,人们对餐饮服务行业的要求也越来越高,由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味,这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量(单位:千盒)与销售价格
(单位:元/盒)满足关系式
其中
,
为常数,已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.
(1)求的值;
(2)假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元(只考虑销售出的便当盒数),试确定销售价格的值,使该店每月销售便当所获得的利润最大.(结果保留一位小数)
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【题目】已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn.数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;
(2)求.
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【题目】已知数列{an}中,点(an , an+1)在直线y=x+2上,且首项a1是方程3x2﹣4x+1=0的整数解.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)数列{an}的前n项和为Sn , 等比数列{bn}中,b1=a1 , b2=a2 , 数列{bn}的前n项和为Tn , 当Tn≤Sn时,请直接写出n的值.
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