【题目】设椭圆的左右焦点分别为
,
,点
满足
.
(Ⅰ) 求椭圆的离心率;
(Ⅱ) 设直线与椭圆相交于
两点,若直线
与圆
相交于
,
两点,且
,求椭圆的方程.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)直接利用|PF2|=|F1F2|,对应的方程整理后即可求椭圆的离心率e;(Ⅱ)先把直线PF2与椭圆方程联立求出A,B两点的坐标以及对应的|AB|两点,进而求出|MN|,再利用弦心距,弦长以及圆心到直线的距离之间的等量关系,即可求椭圆的方程
试题解析:(Ⅰ)设,
.
因为,则
,
,
由,有
,即
,
(舍去)或
.
所以椭圆的离心率为.
(Ⅱ) 解.因为,所以
,
.所以椭圆方程为
.
直线的斜率
,则直线
的方程为
.
两点的坐标满足方程组
消去并整理得
.则
,
.
于是
不妨设
,
.
所以.
于是.
圆心到直线
的距离
,
因为,所以
,即
,
解得(舍去),或
.于是
,
.
所以椭圆的方程为.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,且曲线
的左焦点
在直线
上.
(1)若直线与曲线
交于
两点,求
的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】已知动圆过定点,且与直线
相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)过(1)中轨迹上的点
作两条直线分别与轨迹
相交于
两点,试探究:当直线
的斜率存在且倾斜角互补时,直线
的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
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【题目】设椭圆(
)的右焦点为
,右顶点为
,已知
,其中
为坐标原点,
为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线
与椭圆交于点
(
不在
轴上),垂直于
的直线与
交于点
,与
轴交于点
,若
,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】某企业生产A,B两种产品,生产1吨A种产品需要煤4吨、电18千瓦;生产1吨B种产品需要煤1吨、电15千瓦。现因条件限制,该企业仅有煤10吨,并且供电局只能供电66千瓦,若生产1吨A种产品的利润为10000元;生产1吨B种产品的利润是5000元,试问该企业如何安排生产,才能获得最大利润?
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