Question

2．若在区间[0，4]上任取一个数m，则函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx在R上是单调增函数的概率是$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由题意，本题属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的m的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx，
∴f′（x）=x²-2x+m，∴导函数为抛物线，开口向上，
∵要使f（x）在R上单调，
∴f'（x）=x²-2x+m≥0在R上恒成立，即m≥-x²+2x在R上恒成立，
∴m大于等于-x²+2x的最大值即可，
∵-x²+2x=-（x-1）²+1≤1，
∴m≥1，
∵m≤4，∴1≤m≤4，长度为3，
∵区间[0，4]上任意取一个数m，长度为4，
∴函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+mx是R上的单调函数的概率是$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查几何概型，考查利用导数研究函数的单调性，正确把握导数的正负与函数单调性之间的关系是关键．