Question

7．如图所示，平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2$\sqrt{2}$，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

• A． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π
• B． 24π
• C． 4$\sqrt{3}$π
• D． 12π

Answer 1

分析 由题意可知，四面体A'-BCD顶点在同一个球面上，BC的中点就是球心，求出球的半径，即可得到球的体积．

解答 解：平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=2，BD=2$\sqrt{2}$，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A'-BCD，
使平面A'BD⊥平面BCD．四面体A'-BCD顶点在同一个球面上，△BCD和△A'BC都是直角三角形，
BC的中点就是球心，所以BC=2$\sqrt{3}$，球的半径为：$\sqrt{3}$；
所以球的体积为：$\frac{4π}{3}×（\sqrt{3}）^{3}$=4$\sqrt{3}π$．
故选：C．

点评 本题是基础题，考查四面体的外接球的体积的求法，找出外接球的球心，是解题的关键，考查计算能力，空间想象能力．