已知斜三棱柱—,侧面与底面垂直,∠,,且⊥,=.
(1)试判断与平面是否垂直,并说明理由;
(2)求侧面与底面所成锐二面角的余弦值.
(1)AA1与平面A1BC不垂直
(2)
解析试题分析:解法一:如图建立空间直角坐标系,
(1)由条件知 1分
由面⊥面ABC,AA1⊥A1C,AA1=A1C,知 2分
∵ ……………3分
∴与不垂直,即AA1与BC不垂直,
∴AA1与平面A1BC不垂直……5分
(2)由ACC1A1为平行四边形,
知==…7分
设平面BB1C1C的法向量,
由
令,则 9分
另外,平面ABC的法向量(0,0,1) 10分
所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为 12分
解法二:(1)取AC中点D,连结A1D,则A1D⊥AC.
又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直,交线为AC,
∵A1D⊥面ABC
∴A1D⊥BC. 2分
假设AA1与平面A1BC垂直,则AA1⊥BC.
又A1D⊥BC,由线面垂直的判定定理,
BC⊥面A1AC,所以BC⊥AC,这样在△ABC中
有两个直角,与三角形内角和定理矛盾.假设不
成立,所以AA1不与平面A1BC垂直 5分
(2)侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角.
过点C作A1C1的垂线CE于E,则CE⊥面A1B1C1,B1C1⊥CE.
过点E作B1C1的垂线EF于F,连结CF.
因为B1C1⊥EF,B1C1⊥CE,所以B1C1⊥面EFC,B1C1⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角 9分
由得
在Rt△EFC中,cos∠
所以,侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为 12分
考点:线面垂直的判定,二面角的平面角
点评:主要是考查了空间中线面垂直以及二面角平面角的大小的求解,运用向量法来求解,属于常规试题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,在直三棱柱(侧棱垂直底面)中,M、N分别是BC、AC1中点,AA1=2,AB=,AC=AM=1.
(1)证明:MN∥平面A1ABB1;
(2)求几何体C—MNA的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,为圆的直径,点、在圆上,,矩形所在的平面和圆所在的平面互相垂直,且,.
(1)求证:平面;
(2)设的中点为,求证:平面;
(3)设平面将几何体分成的两个锥体的体积分别为,,求.
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