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已知斜三棱柱,侧面与底面垂直,∠,且.

(1)试判断与平面是否垂直,并说明理由;
(2)求侧面与底面所成锐二面角的余弦值.

(1)AA1与平面A1BC不垂直
(2)

解析试题分析:解法一:如图建立空间直角坐标系,

(1)由条件知                              1分
由面⊥面ABC,AA1⊥A1C,AA1=A1C,知     2分

   ……………3分
不垂直,即AA1与BC不垂直,
∴AA1与平面A1BC不垂直……5分
(2)由ACC1A1为平行四边形,
==…7分
设平面BB1C1C的法向量

,则            9分
另外,平面ABC的法向量(0,0,1)       10分

所以侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为       12分
解法二:(1)取AC中点D,连结A1D,则A1D⊥AC.

又∵侧面ACC1A1与底面ABC垂直,交线为AC,
∵A1D⊥面ABC
∴A1D⊥BC. 2分
假设AA1与平面A1BC垂直,则AA1⊥BC.
又A1D⊥BC,由线面垂直的判定定理,
BC⊥面A1AC,所以BC⊥AC,这样在△ABC中
有两个直角,与三角形内角和定理矛盾.假设不
成立,所以AA1不与平面A1BC垂直    5分
(2)侧面BB1C1C与底面ABC所成的锐二面角即为侧面BB1C1C与A1B1C1底面所成的锐二面角.
过点C作A1C1的垂线CE于E,则CE⊥面A1B1C1,B1C1⊥CE.
过点E作B1C1的垂线EF于F,连结CF.
因为B1C1⊥EF,B1C1⊥CE,所以B1C1⊥面EFC,B1C1⊥CF
所以∠CFE即为所求侧面BB1C1C与地面A1B1C1所成的锐二面角的平面角           9分

在Rt△EFC中,cos∠
所以,侧面BB1C1C与底面ABC所成锐二面角的余弦值为     12分
考点:线面垂直的判定,二面角的平面角
点评:主要是考查了空间中线面垂直以及二面角平面角的大小的求解,运用向量法来求解,属于常规试题。

练习册系列答案
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已知
求证:.

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求证:

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(2)平面PAC平面BDE

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⑴ 求证:
⑵ 求证:平面
⑶ 求三棱锥的体积.

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